Калькулятор факториала и комбинаторики онлайн

Как пользоваться калькулятором

1. Выберите, что считать — факториал, сочетания, размещения или перестановки.
2. Введите число n (а для сочетаний и размещений — ещё число k).
3. Смотрите результат — значение, формулу и пошаговое пояснение.
4. Скопируйте или скачайте решение. «Вставить пример» подставит данные, «Очистить» — сбросит.

Поддерживаются большие числа — факториал даже трёхзначного n считается точно.

Формулы комбинаторики

• Факториал n! Произведение всех целых чисел от 1 до n: n! = 1 · 2 · 3 · … · n. По определению 0! = 1. Например, 5! = 120.
• Сочетания C(n, k). Сколькими способами выбрать k элементов из n без учёта порядка: C(n,k) = n! / (k! · (n−k)!).
• Размещения A(n, k). Сколькими способами выбрать k из n с учётом порядка: A(n,k) = n! / (n−k)!.
• Перестановки P(n). Сколькими способами расставить n различных элементов по порядку: P(n) = n!.

Пример расчёта

Сколькими способами выбрать 3 человек из 10? Порядок не важен — это сочетания: C(10,3) = 10! / (3! · 7!) = 120. А если распределить среди 10 человек 3 призовых места (порядок важен) — это размещения: A(10,3) = 10! / 7! = 720. Видно, что размещений больше: каждый набор из 3 человек можно расставить по местам 3! = 6 способами, и 120 × 6 = 720.

Чем сочетания отличаются от размещений

Главное различие — важен ли порядок. Если порядок не важен (состав команды, набор продуктов) — это сочетания. Если порядок важен (призовые места, пароль из цифр) — это размещения. Поэтому размещений всегда больше или столько же, сколько сочетаний при тех же n и k.

Где это применяется

• Теория вероятностей. Подсчёт числа исходов — основа расчёта вероятностей.
• Лотереи и игры. Сколько всего комбинаций в розыгрыше, какова вероятность выигрыша.
• Школа и вуз. Задачи по комбинаторике, алгебре и теории вероятностей.
• Информатика. Оценка числа вариантов перебора и сложности алгоритмов.

Почему факториал так быстро растёт

Факториал растёт очень быстро: 10! уже больше трёх миллионов, а 20! — больше двух квинтиллионов (19 цифр). Поэтому в обычных калькуляторах большие факториалы теряют точность и показываются приближённо. Этот инструмент считает целочисленно и выдаёт точный результат даже для больших n (число может содержать сотни цифр).

Частые вопросы

• Чему равен 0!? Единице. Это удобное соглашение, при котором формулы сочетаний и размещений работают без исключений.
• Может ли k быть больше n? Нет. Нельзя выбрать больше элементов, чем есть; калькулятор предупредит об ошибке.
• Точен ли результат для больших чисел? Да, расчёт целочисленный, без округления.
• Чем сочетания отличаются от перестановок? Перестановки расставляют все n элементов, сочетания — выбирают k из n без учёта порядка.
• Сохраняются ли вычисления? Нет, всё считается в браузере. Результат можно скопировать или скачать.

Другие математические инструменты: калькулятор НОД и НОК для делимости, калькулятор уравнений и калькулятор пропорций для школьных задач.